Mind Map Gallery Toán cao cấp

Toán cao cấp

Phùng Thị Thu Cúc K204041151 Đào Thị Hương Giang K204041155 Nguyễn Thúy Hà K204041156 Lê Thị Quỳnh Nhi K204041177 Huỳnh Thị Diễm Quỳnh K204041186 Lê Thanh Trúc K204041211

Edited at 2020-12-25 16:47:17

Trúc Lê Thanh

Toán cao cấp

Trúc Lê Thanh

Recommended to you
Outline

TOÁN CAO CẤP

MA TRẬN

Các dạng

MT không

có các phần tử đều bằng 0

MT cột (hay dòng)

chỉ có một cột (hay dòng)

MT vuông

có số cột và dòng bằng nhau

MT tam giác trên (hay dưới)

là MT vuông

các phần từ dưới (hay trên) đường chéo chính đều bằng 0

MT đường chéo

là MT vuông

các phần từ nằm ngoài đường chéo chính đều bằng 0

MT đơn vị

là MT vuông

các phần tử nằm trên đường chéo chính đều bằng 1

các phần tử nằm ngoài đường chéo chính đều bằng 0

kí hiệu: I

MT đối xứng

các phần từ đối xứng nhau qua đường chéo chính thì bằng nhau

Các phép toán

Chuyển vị

đổi cột thành dòng

kí hiệu: A^T

Cộng (hay trừ)

ĐK: hai MT cùng cấp

cộng (hay trừ) các phần tử ở vị trí tương ứng

Tính chất

A+B=B+A

A+0=A

A+(-A)=0

(A+B)+C=A+(B+C)

Nhân với hằng số α

nhân mọi phần tử cho hàng số a

Tích các MT

ĐK: số cột của MT A = số dòng của MT B (với A.B)

tính phần tử ở vị trí cột i dòng j của AB bằng cách nhân các phần tử ở dòng i của ma trận A lần lượt với các phần tử ở cột j ở ma trận B rồi cộng các kết quả lại

Tính chất

AB≠BA

A(BC)=(AB)C

1.A=A

(ab)A=a(bA)

Luỹ thừa

ĐK: MT vuông

A^n=A.A...A (n lần)

Tính chất

(On)^r=On và (In)^r=In

A^(r+s)=(A^r).(A^s)

A^(r.s)=(A^r)^s

AB)^k=A^k.B^k

Các phép biến đổi sơ cấp

hoán vị dòng

di<->dj

nhân với hằng số a khác 0

di:=adj

thay dòng di bởi tổng dòng di với adj

di:=di+adj

Ma trận bậc thang

Khái niệm

dòng bằng 0 (nếu có) nằm dưới dòng khác 0

ở dòng khác 0, phần tử khác 0 đầu tiên của dòng trên phải nằm bên trái phần tử khác 0 đầu tiên của dòng dưới

Phương pháp

Thuật toán khử Guass

dùng các pháp biến đổi sơ cấp để đưa MT về dạng bậc thang

Hạng của ma trận

Định nghĩa

là số dòng khác 0 của MT

kí hiệu: r(A)

Tính chất

0≤r(A)≤min{m;n}

r(A)=0<=>A=0

r(A^T)=r(A)

qua biến đổi sơ cấp, thu được MT A từ MT B -> r(A)=r(B)

Ma trận khả nghịch

Định nghĩa

MT A khả nghịch

tồn tại MT B cùng cấp sao cho:AB=BA=I

kí hiệu: B=A^(-1)

MT A ko khả nghịch -> MT A suy biến

Tính chất

A khả nghịch

r(A)=n

det(A)≠0

A tương đương dòng với I

hệ pt AX=0 có duy nhất nghiệm

tồn tại B=A^(-1) là MT nghịch đảo của A

A suy biến

r(A)<n

det(A)=0

hệ pt AX=0 có vô số nghiệm

Phương pháp tìm MT nghịch đảo

Biến đổi sơ cấp

Xét ma trận [A|I] BĐSC thành [I|A'].Vậy A' là ma trận nghịch đảo của A

Định thức

B1: Tính det(A)

det(A)=0 -> A suy biến

det(A)≠0 -> A khả nghịch

B2: Tìm MT phó

tìm C=[(-1)^(i+j)].det(A(i/j))

adj(A)=C^T

B3: A^(-1)=[1/det(A)].adj(A)

Các tính chất quan trọng

(AB)^T=(B^T).(A^T)

(AB)^(-1)=[B^(-1)].[A^(-1)]

(a+b)A=aA+bA và a(A+B)=aA+aB

(A+B)C=AC+BC và A(B+C)=AB+AC

(A+B)t=At+Bt và (AB)t=BtAt

ĐỊNH THỨC

Ký hiệu

det(A) hay |A|; với A thuộc Mn(R)

Nếu n=1, det(A)=a

Nếu n>1, det(A)=a11A11+a12A12+....+a1nA1n

Định lý Laplace

Khai triển theo dòng i: |A|=ai1Ai1+ai2Ai2+...+ainAin

Khai triển theo cột j: |A|=a1jA1j+a2jA2j+...+anjAnj

Dùng BĐSC tính định thức:

A (di<->dj) A' => |A'|=-|A|

A (di=αdi) A' => |A'|=α|A|

A (di=di+αdj) A' => |A'|=|A|

A (di=αdi+βdj) A' => |A'|=α|A|

Tính chất

detAt = detA

Nếu đổi chỗ hai hàng bất kì của định thứcthì định thức đổi dấu

Nếu các phần tử của một hàng nào đó củađịnh thức có dạng tổng của 2 số hạng thì ta cóthể viết định thức thành tổng của 2 định thức

Nếu nhân một hàng nào đó của định thức với mộtsố λ thì được định thức mới bằng λ lần định thức cũ.

Nếu các phần tử của một hàng có thừa số chungthì ta có thể đưa thừa số đó ra ngoài dấu định thức.

det(λA)=(λ^n).det(A)

Nếu A có một hàng bằng 0 thì định thức bằng 0.

Nếu A có 2 hàng bằng nhau hoặc tỉ lệ nhau thì định thức bằng 0.

Nếu thêm vào một hàng của định thức bội λ củahàng khác thì định thức không đổi.

Định thức của ma trận chéo bằng tích các phầntử trên đường chéo chính.

Cho A, B là các ma trận vuông cấp n. Khi đódet(AB) = detA.detB

MT đặc biệt

MT có 1 dòng (hay cột) bằng 0

định thức bằng 0

MT 0

định thức bằng 0

MT đơn vị

định thức bằng 1

MT đường chéo

định thức bằng tích các phần tử trên đường chéo chính

MT tam giác

định thức bằng tích các phần tử trên đường chéo chính

TRỊ RIÊNG-VECTO RIÊNG

Định nghĩa

Sub Topic

Cho ma trận A ∈ Mn(R). Vectơ v ∈ Rn \ {0} được gọi là vectơ riêng (hay vectơ đặc trưng) của ma trận A. Nếu Av=λv thì v là vector riêng của A và λ là trị riêng của A

Cho ma trận A ∈ Mn(R). Vectơ v ∈ Rn \ {0} được gọi là vectơ riêng (vectơ đặc trưng) của A.Nếu Av=λv thì v là vector riêng của A và λ là trị riêng của A

Tính chất

(A-Iλ)v=0 (I là ma trận đơn vị cùng cấp ma trận A)

Nghiệm tầm thường: λ là trị riêng của A

Nghiệm tầm thường: λ ko là trị riêng của A

Một giá trị riêng có thể có vô số vecto riêng

3Mỗi vecto riêng chỉ ứng với một trị riêng duy nhất.

Ma trận tam giác nhận các phần tử trên đường chéo làm trị riêng. Các vector {ei} là các vectơ.

4.Ma trận tam giác nhận các phần tử trên đường chéo làm trị riêng. Các vector {ei} là các vectơ.

Các vector riêng ứng với trị riêng khác nhau thì độc lập tuyến tính.

Đa thức đặc trưng

Định nghĩa

PA((λ)=det(A-λI) với A thuộc Mn(R)

Định lý

λ là trị riêng của A

PA(A)=0 (định lý Hamilton Caley)

MT (A-λI) ko khả nghịch

PA(λ)=0

Cách xác định

B1: Viết MT (A-λI)

B2: Tính định thức của MT

B3: Tìm nghiệm khi cho định thức bằng 0

Cách xác định

B1: Tìm trị riêng

Xác định đa thức đặc trưng

Giải phương trình PA(λ)=det(A-λI)=0 để tìm các trị riêng.

B2:Tìm vecto riêng

Giải (A − Iλi)v=0. Tất cả các nghiệm khác 0 của hệ là tất cả các véctơ riêng của A ứng với trị riêng λi.

Không gian con riêng

Định nghĩa

Với mỗi số thực λ, tập hợp E(λ) := {v ∈ Rn| Av = λv} là không gian vector con của Rn.

λ là một trị riêng của A

E(λ)≠{0}

Av=λv có hơn một nghiệm

det(A-Iλ)=0

λ là một trị riêng của A => 1<= E(λ) <= m; m là số mũ của (λ- λ* ) trong phân tích đa thức đặc trưng thành nhân tử P

Chéo hóa

Ma trận vuông chéo hóa được

Ma trận A được gọi là ma trận chéo hóa được nếu nó đồng dạng với ma trận chéo. Tức: A được gọi là chéo hóa được nếu tồn tại ma trận không suy biến P sao cho: P^{-1}AP = D , với D là 1 ma trận chéo

P: ma trận làm chéo hóa ma trận A, D: dạng chéo của ma trận A

Quá trình chéo hóa ma trận vuông A: Quá trình tìm P và D

Định lý

Điều kiện cần và đủ để ma trận A chéo hóa được là nó có n vectơ riêng độc lập tuyến tính

Hệ quả

Nếu ma trận A vuông cấp n có đủ n GTR đôi một khác nhau thì A chéo hóa được.

Mỗi GTR bội k phải có đủ k VTR độc lập tuyến tính (Cơ sở của không gian con riêng ứng với GTR đó phải có k vecto)

Cách tìm

n=n-r(A-λI)=dimE(λ)

KHÔNG GIAN VECTO

Không gian vecto R^n

Định nghĩa

Cho tập V ko rỗngNếu u+v thuộc V và αu thuộc V (với mọi u,v thuộc V) thì V được gọi là không gian vecto

Nhận xét

Nếu V là không gian vecto

các phần tử của V được gọi là vecto

phần tử 0 xác định duy nhất và được gọi là vecto 0

với u thuộc V, chỉ có duy nhất -u là vecto đối của u

Tính chất

αu=0

α=0

u=0

(-1)u=-u

-(αu)=(-α)u=α(-u)

αu=αv

α=0

u=v

αu=βu

α=β

u=0

Tổ hợp tuyến tính

Định nghĩa

Cho V là KGVT và u, u1, u2, ..., um thuộc V. Ta nói u là tổ hợp tuyến tính của u1, u2, ... un nếu tồn tại các số thực α1, α2,…, αm sao cho u = u1. α1 + u2.α2 + ⋯ + um.αm

Cách xác định

Lập ma trận Ã =[u1^T u2^T ··· u^T | uT]= [A|u^T].

r(A)≠r(Ã)

u ko phải là tổ hợp tuyến tính của u1,u2,...,um.

r(A)=r(Ã)≠m

u là tổ hợp tuyến tính của u1,u2,...,um.

r(A)=r(Ã)=m

u có duy nhất dạng biểu diễn tuyến tính bởi các vectơ u1,u2,...,um.

Độc lập và phụ thuộc tuyến tính

Định nghĩa

Họ các vectơ u1,u2,...,um được gọi là độc lập tuyến tính nếu từ đẳng thức α1.u1+α2.u2 + ... + αm.um = 0, ta suy ra được α1=α2=...=0.

Họ vecto ko độc lập tuyến tính thì được gọi là phụ thuộc tuyến tính.

Nhận xét

Một họ các vecto phụ thuộc tuyến tính thì có một vecto trong họ này là tổ hợp tuyến tính của các vecto còn lại.

Một họ các vecto độc lập tuyến tính thì bất kì các vecto trong họ này đều ko thể viết thành tổ hợp tuyến tính của các vecto còn lại

Hệ chứa vecto 0 thì phụ thuộc tuyến tính.

Cách xác định

Kronecker Corpelli

r(A)=m

độc lập tuyến tính

r(A)≠m

phụ thuộc tuyến tính

Cramer

det(A)≠0

độc lập tuyến tính

det(A)=0

phụ thuộc tuyến tính

Hạng của hệ vecto

Định nghĩa

Cho hệ m vecto V={v1,...v vm} là hệ con của R^n.Số vecto trong một hệ độc lập tuyến tính tối đại là hạng của hệ vecto V.

Hệ D độc lập tuyến tính tối đại khi

Hệ D độc lập tuyến tính

Hệ D hợp {x} phụ thuộc tuyến tính với mọi x thuộc V\D

Ký hiệu: r(v1,...,vm) hay rank(v1,..,vm)

Định lý

Cho hệ các vecto S={ u1,u2,...,um}Khi đó r(u1,u2,..,uN) = r(A) với A=[u1^T, u2^T, ..., um^T]

Cơ sở và số chiều

Cơ sở

Định nghĩa

Hệ các vecto trong R^n được gọi là một cơ sở của R^n nếu (B) độc lập tuyến tính và mọi vecto bất kỳ của R^n đều được biểu diễn tuyến tính qua (B)

Định lý

Cho (B) là một hệ các vecto của V.Các mệnh đề tương đương

(B) là một cơ sở của V

(B) là hệ độc lập tuyến tính tối đại của V

Không gian vecto V có cơ sở gồm n phần tử

Mọi tập con của V gồm nhiều hơn n phần tử đều phụ thuộc tuyến tính

Mọi cơ sở của V đều gồm n phần tử

Cách xác định

B1: Lập MT A bằng cách viết các vecto theo dòng

B2: Tính det(A)

det(A)=0

cơ sở gồm n phần tử với n=r(A)

det(A)≠0

cơ sở là tất cả phần tử trong hệ

Số chiều

Định nghĩa

Cho V là không gian vecto. Khi đó, số vecto trong 1 cơ sở của V được gọi là số chiều.Kí hiệu: dimV

Định lý

Cho V là không gian vecto có dimV=n.

Mọi tập con độc lập tuyến tính có n phần tử đều là cơ sở của V.

Mọi hệ sinh của V gồm n phần tử đều là cơ sở của V.

Toạ độ

R^n, B (u1,u2,..,uN) là một cơ sở của R^nLấy u thuộc R^n, tồn tại (α1, α2,…, αN) thuộc R^n sao cho u = u1. α1 + u2.α2 + ⋯ + un.αnKhi đó [α1,α2,...,αn] chuyển vị được gọi là tọa độ của u trong cơ sở B.

Không gian dòng

Định nghĩa

Cho ma trận A = (ai, j) ∈ Mm×n(R). Đặt ui = (ai1, ai2, ..., ain), là dòng thứ i của ma trận A, ∀i = 1,...m, và VA = hu1, u2, ..., umi. Khi đó ta nói VA là không gian dòng của ma trận A.

Nhận xét

Không gian dòng của ma trận của không thay đổi thông qua các phép biến đổi sơ cấp trên dòng.

Về số chiều, ta có thể dùng định nghĩa để tìm ra bộ các vectơ độc lập tuyến tính từ tập sinh. Mỗi vectơ sắp xếp thành cột, sau đó dùng thuật toán khử Gauss hoặc Thuật toán Gauss-Jordan để đưa về ma trận bậc thang để tìm hạng ma trận. Tuy nhiên, cách làm này chỉ trả lời câu hỏi về số chiều và không cung cấp cơ sở cho không gian.

Định lý

Cho A, B ∈ Mm×n(R).

Nếu A tương đương dòng với B thì VA = VB.

dimVA=r(A)

Không gian nghiệm

Nhận xét

Cho A ∈ Mm×n(R). Đặt W = {X ∈ Rn: AX = 0}.

W ≤ Rn

dinW=n-r(A)

Cách xác định cơ sở của không gian con

Dùng phương pháp khử Gauss, ta đưa ma trận A về dạng bậc thang. Hệ phương trình AX = 0 có n−r(A) ẩn tự do. Ta lần lượt chọn ẩn tự do thứ i bằng 1, các ẩn tự do còn lại bằng 0. Sau quá trình này, ta sẽ thu được một cơ sở của W.

HỆ PT TUYẾN TÍNH

Kronecker Corpelli

b≠0

r(A)=r(Ã)=n -> duy nhất nghiệm

r(A)=r(Ã)<n -> vô số nghiệm

r(A)<r(Ã) -> vô nghiệm

b=0

r(A)=n -> duy nhất nghiệm

r(A)<n -> vô số nghiệm

Cramer

b≠0

det(A)≠0 -> duy nhất nghiệm

X=A^(-1).b

X=∆j/∆

det(A)=∆j=0 -> vô số nghiệm

kết hợp Guass để tìm nghiệm

det(A)=0;∆j≠0 -> vô nghiệm

b=0

det(A)≠0 -> duy nhất nghiệm

det(A)=0 -> vô số nghiệm

AX=bA là MT vuông cấp nb là MT cột