Toán cao cấp

TOÁN CAO CẤP
MA TRẬN
ĐỊNH THỨC
HỆ PT TUYẾN TÍNH
KHÔNG GIAN VECTO
Kronecker Corpelli
Cramer
b≠0
b=0
r(A)=r(Ã)=n -> duy nhất nghiệm
r(A)=r(Ã)<n -> vô số nghiệm
r(A)<r(Ã) -> vô nghiệm
AX=b
A là MT vuông cấp n
b là MT cột
r(A)=n -> duy nhất nghiệm
r(A)<n -> vô số nghiệm
b≠0
b=0
det(A)≠0 -> duy nhất nghiệm
det(A)=∆j=0 -> vô số nghiệm
det(A)=0;∆j≠0 -> vô nghiệm
X=A^(-1).b
X=∆j/∆
kết hợp Guass để tìm nghiệm
det(A)≠0 -> duy nhất nghiệm
det(A)=0 -> vô số nghiệm
Các dạng
Các phép toán
Các phép biến đổi sơ cấp
Ma trận bậc thang
Hạng của ma trận
Ma trận khả nghịch
Các tính chất quan trọng
MT không
MT cột (hay dòng)
MT vuông
MT tam giác trên (hay dưới)
MT đường chéo
MT đơn vị
MT đối xứng
có các phần tử đều bằng 0
chỉ có một cột (hay dòng)
có số cột và dòng bằng nhau
là MT vuông
các phần từ dưới (hay trên) đường chéo chính đều bằng 0
là MT vuông
các phần từ nằm ngoài đường chéo chính đều bằng 0
là MT vuông
các phần tử nằm ngoài đường chéo chính đều bằng 0
các phần tử nằm trên đường chéo chính đều bằng 1
các phần từ đối xứng nhau qua đường chéo chính thì bằng nhau
Chuyển vị
Cộng (hay trừ)
Nhân với hằng số α
Tích các MT
Luỹ thừa
đổi cột thành dòng
kí hiệu: A^T
ĐK: hai MT cùng cấp
cộng (hay trừ) các phần tử ở vị trí tương ứng
nhân mọi phần tử cho hàng số a
ĐK: số cột của MT A = số dòng của MT B (với A.B)
tính phần tử ở vị trí cột i dòng j của AB bằng cách nhân các phần tử ở dòng i của ma trận A lần lượt với các phần tử ở cột j ở ma trận B rồi cộng các kết quả lại
ĐK: MT vuông
A^n=A.A...A (n lần)
kí hiệu: I
hoán vị dòng
nhân với hằng số a khác 0
thay dòng di bởi tổng dòng di với adj
di<->dj
di:=adj
di:=di+adj
Khái niệm
Phương pháp
dòng bằng 0 (nếu có) nằm dưới dòng khác 0
ở dòng khác 0, phần tử khác 0 đầu tiên của dòng trên phải nằm bên trái phần tử khác 0 đầu tiên của dòng dưới
Thuật toán khử Guass
dùng các pháp biến đổi sơ cấp để đưa MT về dạng bậc thang
Định nghĩa
Tính chất
là số dòng khác 0 của MT
kí hiệu: r(A)
0≤r(A)≤min{m;n}
r(A)=0<=>A=0
r(A^T)=r(A)
qua biến đổi sơ cấp, thu được MT A từ MT B -> r(A)=r(B)
Định nghĩa
Tính chất
Phương pháp tìm MT nghịch đảo
MT A khả nghịch
MT A ko khả nghịch -> MT A suy biến
tồn tại MT B cùng cấp sao cho:
AB=BA=I
kí hiệu: B=A^(-1)
A khả nghịch
A suy biến
r(A)=n
det(A)≠0
A tương đương dòng với I
hệ pt AX=0 có duy nhất nghiệm
tồn tại B=A^(-1) là MT nghịch đảo của A
r(A)<n
det(A)=0
hệ pt AX=0 có vô số nghiệm
Biến đổi sơ cấp
Định thức
Xét ma trận [A|I] BĐSC thành [I|A'].
Vậy A' là ma trận nghịch đảo của A
B1: Tính det(A)
B2: Tìm MT phó
B3: A^(-1)=[1/det(A)].adj(A)
det(A)=0 -> A suy biến
det(A)≠0 -> A khả nghịch
tìm C=[(-1)^(i+j)].det(A(i/j))
adj(A)=C^T
(AB)^T=(B^T).(A^T)
(AB)^(-1)=[B^(-1)].[A^(-1)]
(a+b)A=aA+bA và a(A+B)=aA+aB
det(A) hay |A|; với A thuộc Mn(R)
Định lý Laplace
Dùng BĐSC tính định thức:
Tính chất
Nếu n=1, det(A)=a
Nếu n>1, det(A)=a11A11+a12A12+....+a1nA1n
TRỊ RIÊNG-VECTO RIÊNG
Định nghĩa
Cho ma trận A ∈ Mn(R). Vectơ v ∈ Rn \ {0} được gọi là vectơ riêng (vectơ đặc trưng) của A.
Nếu Av=λv thì v là vector riêng của A và λ là trị riêng của A
Tính chất
(A-Iλ)v=0 (I là ma trận đơn vị cùng cấp ma trận A)
Một giá trị riêng có thể có vô số vecto riêng
3Mỗi vecto riêng chỉ ứng với một trị riêng duy nhất.
Ma trận tam giác nhận các phần tử trên đường chéo làm trị riêng. Các vector {ei} là các vectơ.
Các vector riêng ứng với trị riêng khác nhau thì độc lập tuyến tính.
Cách xác định
B1: Tìm trị riêng
Xác định đa thức đặc trưng
Giải phương trình PA(λ)=det(A-λI)=0 để tìm các trị riêng.
B2:Tìm vecto riêng
Giải (A − Iλi)v=0. Tất cả các nghiệm khác 0 của hệ là tất cả các véctơ riêng của A ứng với trị riêng λi.
Không gian con riêng
Định nghĩa
Với mỗi số thực λ, tập hợp E(λ) := {v ∈ Rn| Av = λv} là không gian vector con của Rn.
λ là một trị riêng của A
λ là một trị riêng của A => 1<= E(λ) <= m; m là số mũ của (λ- λ* ) trong phân tích đa thức đặc trưng thành nhân tử P
Chéo hóa
Ma trận vuông chéo hóa được
Quá trình chéo hóa ma trận vuông A: Quá trình tìm P và D
Định lý
Điều kiện cần và đủ để ma trận A chéo hóa được là nó có n vectơ riêng độc lập tuyến tính
P: ma trận làm chéo hóa ma trận A, D: dạng chéo của ma trận A
Ma trận A được gọi là ma trận chéo hóa được nếu nó đồng dạng với ma trận chéo. Tức: A được gọi là chéo hóa được nếu tồn tại ma trận không suy biến P sao cho: P^{-1}AP = D , với D là 1 ma trận chéo
Hệ quả
Nếu ma trận A vuông cấp n có đủ n GTR đôi một khác nhau thì A chéo hóa được.
Mỗi GTR bội k phải có đủ k VTR độc lập tuyến tính (Cơ sở của không gian con riêng ứng với GTR đó phải có k vecto)
Cách tìm
n=n-r(A-λI)=dimE(λ)
Khai triển theo dòng i: |A|=ai1Ai1+ai2Ai2+...+ainAin
Khai triển theo cột j: |A|=a1jA1j+a2jA2j+...+anjAnj
A (di<->dj) A' => |A'|=-|A|
A (di=αdi) A' => |A'|=α|A|
A (di=di+αdj) A' => |A'|=|A|
A (di=αdi+βdj) A' => |A'|=α|A|
detAt = detA
Nếu đổi chỗ hai hàng bất kì của định thức
thì định thức đổi dấu
Nếu các phần tử của một hàng nào đó của
định thức có dạng tổng của 2 số hạng thì ta có
thể viết định thức thành tổng của 2 định thức
Nếu nhân một hàng nào đó của định thức với một
số λ thì được định thức mới bằng λ lần định thức cũ.
Nếu thêm vào một hàng của định thức bội λ của
hàng khác thì định thức không đổi.
Định thức của ma trận chéo bằng tích các phần
tử trên đường chéo chính.
Cho A, B là các ma trận vuông cấp n. Khi đó
det(AB) = detA.detB
Nếu các phần tử của một hàng có thừa số chung
thì ta có thể đưa thừa số đó ra ngoài dấu định thức.
det(λA)=(λ^n).det(A)
Nếu A có một hàng bằng 0 thì định thức bằng 0.
Nếu A có 2 hàng bằng nhau hoặc tỉ lệ nhau thì định thức bằng 0.
Nghiệm tầm thường: λ là trị riêng của A
Nghiệm tầm thường: λ ko là trị riêng của A
E(λ)≠{0}
Av=λv có hơn một nghiệm
det(A-Iλ)=0
Đa thức đặc trưng
Định nghĩa
Định lý
Cách xác định
PA((λ)=det(A-λI) với A thuộc Mn(R)
λ là trị riêng của A
PA(A)=0 (định lý Hamilton Caley)
MT (A-λI) ko khả nghịch
PA(λ)=0
B1: Viết MT (A-λI)
B2: Tính định thức của MT
B3: Tìm nghiệm khi cho định thức bằng 0
Ký hiệu
Hạng của hệ vecto
Cơ sở và số chiều
Toạ độ
Không gian dòng
Không gian nghiệm
Không gian vecto R^n
Tổ hợp tuyến tính
Độc lập và phụ thuộc tuyến tính
Định nghĩa
Nhận xét
Cho tập V ko rỗng
Nếu u+v thuộc V và αu thuộc V (với mọi u,v thuộc V) thì V được gọi là không gian vecto
Nếu V là không gian vecto
các phần tử của V được gọi là vecto
phần tử 0 xác định duy nhất và được gọi là vecto 0
với u thuộc V, chỉ có duy nhất -u là vecto đối của u
Tính chất
αu=0
(-1)u=-u
-(αu)=(-α)u=α(-u)
αu=αv
αu=βu
α=0
u=0
α=0
u=v
α=β
u=0
Cho V là KGVT và u, u1, u2, ..., um thuộc V.
Ta nói u là tổ hợp tuyến tính của u1, u2, ... un nếu tồn tại các số thực α1, α2,…, αm sao cho u = u1. α1 + u2.α2 + ⋯ + um.αm
Cách xác định
Định nghĩa
Lập ma trận à =[u1^T u2^T ··· u^T | uT]= [A|u^T].
r(A)≠r(Ã)
r(A)=r(Ã)≠m
r(A)=r(Ã)=m
u ko phải là tổ hợp tuyến tính của u1,u2,...,um.
u là tổ hợp tuyến tính của u1,u2,...,um.
u có duy nhất dạng biểu diễn tuyến tính bởi các vectơ u1,u2,...,um.
Định nghĩa
Nhận xét
Cách xác định
Họ các vectơ u1,u2,...,um được gọi là độc lập tuyến tính nếu từ đẳng thức α1.u1+α2.u2 + ... + αm.um = 0, ta suy ra được α1=α2=...=0.
Họ vecto ko độc lập tuyến tính thì được gọi là phụ thuộc tuyến tính.
Một họ các vecto phụ thuộc tuyến tính thì có một vecto trong họ này là tổ hợp tuyến tính của các vecto còn lại.
Một họ các vecto độc lập tuyến tính thì bất kì các vecto trong họ này đều ko thể viết thành tổ hợp tuyến tính của các vecto còn lại
Hệ chứa vecto 0 thì phụ thuộc tuyến tính.
Kronecker Corpelli
Cramer
r(A)=m
r(A)≠m
độc lập tuyến tính
phụ thuộc tuyến tính
det(A)≠0
det(A)=0
độc lập tuyến tính
phụ thuộc tuyến tính
Định nghĩa
Định lý
Cho hệ m vecto V={v1,...v vm} là hệ con của R^n.
Số vecto trong một hệ độc lập tuyến tính tối đại là hạng của hệ vecto V.
Ký hiệu: r(v1,...,vm) hay rank(v1,..,vm)
Cho hệ các vecto S={ u1,u2,...,um}
Khi đó r(u1,u2,..,uN) = r(A) với A=[u1^T, u2^T, ..., um^T]
Hệ D độc lập tuyến tính tối đại khi
Hệ D độc lập tuyến tính
Hệ D hợp {x} phụ thuộc tuyến tính với mọi x thuộc V\D
Cơ sở
Số chiều
Định nghĩa
Định lý
Hệ các vecto trong R^n được gọi là một cơ sở của R^n nếu (B) độc lập tuyến tính và mọi vecto bất kỳ của R^n đều được biểu diễn tuyến tính qua (B)
Cho (B) là một hệ các vecto của V.
Các mệnh đề tương đương
(B) là một cơ sở của V
(B) là hệ độc lập tuyến tính tối đại của V
Không gian vecto V có cơ sở gồm n phần tử
Mọi tập con của V gồm nhiều hơn n phần tử đều phụ thuộc tuyến tính
Mọi cơ sở của V đều gồm n phần tử
Cách xác định
B1: Lập MT A bằng cách viết các vecto theo dòng
B2: Tính det(A)
det(A)=0
det(A)≠0
cơ sở gồm n phần tử với n=r(A)
cơ sở là tất cả phần tử trong hệ
Định nghĩa
Cho V là không gian vecto. Khi đó, số vecto trong 1 cơ sở của V được gọi là số chiều.
Kí hiệu: dimV
Định lý
Cho V là không gian vecto có dimV=n.
Mọi tập con độc lập tuyến tính có n phần tử đều là cơ sở của V.
Mọi hệ sinh của V gồm n phần tử đều là cơ sở của V.
R^n, B (u1,u2,..,uN) là một cơ sở của R^n
Lấy u thuộc R^n, tồn tại (α1, α2,…, αN) thuộc R^n sao cho u = u1. α1 + u2.α2 + ⋯ + un.αn
Khi đó [α1,α2,...,αn] chuyển vị được gọi là tọa độ của u trong cơ sở B.
Định nghĩa
Cho ma trận A = (ai, j) ∈ Mm×n(R). Đặt ui = (ai1, ai2, ..., ain), là dòng thứ i của ma trận A, ∀i = 1,...m, và VA = hu1, u2, ..., umi. Khi đó ta nói VA là không gian dòng của ma trận A.
Nhận xét
Không gian dòng của ma trận của không thay đổi thông qua các phép biến đổi sơ cấp trên dòng.
Về số chiều, ta có thể dùng định nghĩa để tìm ra bộ các vectơ độc lập tuyến tính từ tập sinh. Mỗi vectơ sắp xếp thành cột, sau đó dùng thuật toán khử Gauss hoặc Thuật toán Gauss-Jordan để đưa về ma trận bậc thang để tìm hạng ma trận. Tuy nhiên, cách làm này chỉ trả lời câu hỏi về số chiều và không cung cấp cơ sở cho không gian.
Định lý
Cho A, B ∈ Mm×n(R).
Nếu A tương đương dòng với B thì VA = VB.
dimVA=r(A)
Nhận xét
Cách xác định cơ sở của không gian con
Cho A ∈ Mm×n(R). Đặt W = {X ∈ Rn: AX = 0}.
W ≤ Rn
dinW=n-r(A)
Dùng phương pháp khử Gauss, ta đưa ma trận A về dạng bậc thang. Hệ phương trình AX = 0 có n−r(A) ẩn tự do. Ta lần lượt chọn ẩn tự do thứ i bằng 1, các ẩn tự do còn lại bằng 0. Sau quá trình này, ta sẽ thu được một cơ sở của W.
Tính chất
(On)^r=On và (In)^r=In
A^(r+s)=(A^r).(A^s)
A^(r.s)=(A^r)^s
AB)^k=A^k.B^k
MT đặc biệt
MT có 1 dòng (hay cột) bằng 0
MT 0
MT đơn vị
MT đường chéo
MT tam giác
định thức bằng 0
định thức bằng 0
định thức bằng 1
định thức bằng tích các phần tử trên đường chéo chính
định thức bằng tích các phần tử trên đường chéo chính
Tính chất
A+B=B+A
A+0=A
A+(-A)=0
(A+B)+C=A+(B+C)
Tính chất
AB≠BA
A(BC)=(AB)C
1.A=A
(ab)A=a(bA)
(A+B)C=AC+BC và A(B+C)=AB+AC
(A+B)t=At+Bt và (AB)t=BtAt
67